Metode TOPSIS

Metode TOPSIS

Metode TOPSIS didasarkan pada konsep bahwa alternatif terpilih yang terbaik tidak hanya memiliki jarak terpendek dari solusi ideal positif tetapi juga memiliki jarak terpanjang dari solusi ideal negatif.

Tahapan dalam Metode TOPSIS:

1. Menentukan kriteria dan sifat

Kriteria-kriteria yang akan dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan, yaitu Ci dan sifat dari masing-masing kriteria.

2. Menentukan rating kecocokan

Rating kecocokan setiap alternatif pada setiap kriteria.

3. Membuat matriks keputusan yang ternormalisasi
TOPSIS membutuhkan rating kinerja setiap alternatif Ai pada setiap kriteria Cj yang ternormalisasi, yaitu:

4. Perkalian antara bobot dengan nilai setiap atribut
Perkalian ini untuk membentuk matrik Y. dapat ditentukan berdasarkan ranking bobot ternormalisasi (yij) sebagai berikut:

dengan i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n

5. Menentukan matriks solusi ideal positif dan matriks solusi ideal negatif

6. Menentukan jarak antara nilai setiap alternatif dengan matriks solusi ideal positif dan negatif.
Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal positif dirumuskan sebagai:

Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal negatif dirumuskan sebagai:

7. Menentukan nilai preferensi untuk setiap alternatif
Nilai preferensi untuk setiap alternatif (Vi) diberikan sebagai:

Nilai Vi yang lebih besar menunjukkan bahwa alternatif Ai lebih dipilih.

Studi Kasus:

Contoh soal (diambil dari buku Sri Kusumadewi, dkk tahun 2006):
Suatu perusahaan di Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) ingin membangun sebuah gudang yang akan digunakan sebagai tempat untuk menyimpan sementara hasil produksinya. Ada 3 lokasi yang akan menjadi alternatif, yaitu:

• A1 = Ngemplak,
• A2 = Kalasan,
• A3 = Kota Gedhe.

Ada 5 kriteria yang dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan yaitu: pengambilan keputusan, yaitu:

• C1 = jarak dengan pasar terdekat (km),
• C2 = kepadatan penduduk di sekitar lokasi (orang/km2);
• C3 = jarak dari pabrik (km);
• C4 = jarak dengan gudang yang sudah ada (km);
• C5 = harga tanah untuk lokasi (1.000.000 Rp/m2).

Tingkat kepentingan setiap kriteria, juga dinilai dengan 1 sampai 5, yaitu:

• 1 = Sangat rendah,
• 2 = Rendah,
• 3 = Cukup,
• 4 = Tinggi,
• 5 = Sangat Tinggi.

Pengambil keputusan memberikan bobot preferensi untuk tiap kriteria adalah:

W = (5, 3, 4, 4, 2)

Penyelesaian

Jawab:

1. Menentukan kriteria dan sifat

Kriteria-kriteria yang akan dijadikan acuan dalam pengambilan keputusan, yaitu Ci dan sifat dari masing-masing kriteria.

Memberikan nilai tingkat kepentingan setiap kriteria dengan ketentuan:

• 1 : tidak penting
• 2 : tidak terlalu penting
• 3 : cukup penting
• 4 : penting
• 5 : sangat penting

Nilai bobot awal (w) digunakan untuk menunjukkan tingkat kepentingan relatif dari setiap subkriteria.

Nama Kriteria	Sifat	Alasan	Bobot
C1 = jarak dengan pasar terdekat	Biaya / Cost	Karena posisi pabrik yang diharapkan adalah dekat dari pasar agar proses distribusi barang tidak memakan biaya mahal	5
C2 = kepadatan penduduk di sekitar lokasi (orang/km2)	Biaya / Cost	Karena posisi pabrik yang diharapkan adalah jauh dari perumahan penduduk agar proses distribusi barang tidak terganggu	3
C3 = jarak dari pabrik (km)	Biaya / Cost	Semakin dekat jarak gudang dengan pabrik, maka akan semakin menguntungkan bagi perusahaan	4
C4 = jarak dengan gudang yang sudah ada (km);	Keuntungan / Benefit	Semakin jauh jarak gudang dengan posisi gudang sebelumnya, maka akan semakin menguntungkan bagi perusahaan	4
C5 = harga tanah untuk lokasi (1.000.000 Rp/m2)	Biaya / Cost	Semakin murah harga tanah maka akan semakin menguntungkan bagi perusahaan	2

2. Menentukan rating kecocokan

Rating kecocokan setiap alternatif pada setiap kriteria, dengan memberikan nilai kriteria pada semua alternatif.

Alternatif	Kriteria
	C1	C2	C3	C4	C5
A1	0.75	2000	18	50	500
A2	0.50	1500	20	40	450
A3	0.90	2050	35	35	800

3. Membuat matriks keputusan yang ternormalisasi
TOPSIS membutuhkan rating kinerja setiap alternatif Ai pada setiap kriteria Cj yang ternormalisasi, yaitu:

X1	X2	X3	X4	X5
0.75	2000	18	50	500
0.50	1500	20	40	450
0.90	2050	35	35	800

\[\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ x1 }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }=\sqrt{\text{(0,7}{{\text{5}}^{\text{2}}}\text{ + 0,5}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 0,9}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{) }}\text{= 1,2738}\]

r11 = x11 / |x1| = 0,75 / 1,2738 = 0,5888

r21 = x21 / |x1| = 0,50 / 1,2738 = 0,3925

r31 = x31 / |x1| = 0,90 / 1,2738 = 0,7066 

\[\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ x2 }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }=\sqrt{\text{(200}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 150}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 205}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{) }}\text{= 3233,0326}\]

r12 = x12 / |x2| = 2000 / 3233,0326 = 0,6186

r22 = x22 / |x2| = 1500 / 3233,0326 = 0,4640

r32 = x32 / |x2| = 2050 / 3233,0326 = 0,6341

\[\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ x3 }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }=\sqrt{\text{(1}{{\text{8}}^{\text{2}}}\text{ + 2}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 3}{{\text{5}}^{\text{2}}}\text{) }}\text{= 44,1475}\]

r13 = x13 / |x3| = 18 / 44,1475 = 0,4077

r23 = x23 / |x3| = 20 / 44,1475 = 0,4530

r33 = x33 / |x3| = 35 / 44,1475 = 0,7928

\[\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ x4 }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }=\sqrt{\text{(5}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 4}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 3}{{\text{5}}^{\text{2}}}\text{) }}\text{= 72,9726}\]

r14 = x14 / |x4| = 50 / 72,9726 = 0,6852

r24 = x24 / |x4| = 40 / 72,9726 = 0,5482

r34 = x34 / |x4| = 35 / 72,9726 = 0,4796

\[\text{ }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ x5 }\!\!|\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }=\sqrt{\text{(50}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 45}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{ + 80}{{\text{0}}^{\text{2}}}\text{) }}\text{= 1045,2272}\]

r15 = x15 / |x5| = 500 / 1045,2272 = 0,4784

r25 = x25 / |x5| = 450 / 1045,2272 = 0,4305

r35 = x35 / |x5| = 800 / 1045,2272 = 0,7654

Matriks ternormalisasi R:

0,5888	0,6186	0,4077	0,6852	0,4784
0,3925	0,4640	0,4530	0,5482	0,4305
0,7066	0,6341	0,7928	0,4796	0,7654

4. Perkalian antara bobot dengan nilai setiap atribut
Perkalian ini untuk membentuk matrik Y. dapat ditentukan berdasarkan ranking bobot ternormalisasi (yij) sebagai berikut:

0,5888*5	0,6186*3	0,4077*4	0,6852*4	0,4784*2
0,3925*5	0,4640*3	0,4530*4	0,5482*4	0,4305*2
0,7066*5	0,6341*3	0,7928*4	0,4796*4	0,7654*2

2,9440	1,8558	1,6309	2,7408	0,9567
1,9627	1,3919	1,8121	2,1926	0,8611
3,5328	1,9022	3,1712	1,9185	1,5308

5. Menentukan matriks solusi ideal positif dan matriks solusi ideal negatif

Nama kriteria	Sifat kriteria	Y+	Y-
C1 = jarak dengan pasar terdekat (km),	Biaya/Cost.	Min{2,9440;1,9627;3,5328} = 1,9627	Max{2,9440;1,9627;3,5328} = 3,5328
C2 = kepadatan penduduk di sekitar lokasi (orang/km2);	Biaya/Cost.	Min{1,8558;1,3919;1,9022} = 1,3919	Max{1,8558;1,3919;1,9022} = 1,9022
C3 = jarak dari pabrik (km);	Biaya/Cost.	Min{1,6309;1,8121;3,1712} = 1,6309	Max{1,6309;1,8121;3,1712} = 3,1712
C4 = jarak dengan gudang yang sudah ada (km);	Keuntungan /Benefit.	Max{2,7408;2,1926;1,9185} = 2,7408	Min{2,7408;2,1926;1,9185} = 1,9185
C5 = harga tanah untuk lokasi (1.000.000 Rp/m2).	Biaya/Cost.	Min{0,9567;0,8611;1,5308} = 0,8611	Max{0,9567;0,8611;1,5308} = 1,5308
Dapat disimpulkan :		A+ = {1,9627; 1,3919; 1,6309; 2,7408; 0,8611}	A- = {3,5328; 1,9022; 3,1712; 1,9185; 1,5308}

6.a. Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal positif

\[D1+=\sqrt{{{\text{(Y11-Y}{{\text{1}}_{\text{+}}}\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y12-Y}{{\text{2}}_{\text{+}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y13-Y}{{\text{3}}_{\text{+}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y14-Y}{{\text{4}}_{\text{+}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y15-Y}{{\text{5}}_{\text{+}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ }}\]
\[D1+=\sqrt{{{\text{(2,9440-1,9627)}}^{\text{2}}}\text{+(1,8558-1,3919}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,6309-1,6309}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(2,7408-2,7408}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(0,9567-0,8611}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ }}\text{= 1,0897}\]
\[D2+=\sqrt{{{\text{(1,9627-1,9627)}}^{\text{2}}}\text{+(1,3919-1,3919}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,8121-1,6309}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(2,1926-2,7408}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(0,8611-0,8611}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ }}\text{= 1,1174 }\]
\[D3+=\sqrt{{{\text{(3,5328-1,9627)}}^{\text{2}}}\text{+(1,9022-1,3919}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(3,1712-1,6309}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,9185-2,7408}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,5308-0,8611}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ }}\text{= 2,5864}\]

6.b. Jarak antara alternatif Ai dengan solusi ideal negatif
\[D{{1}^{-}}=\sqrt{{{\text{(Y11-Y}{{\text{1}}^{\text{-}}}\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y12-Y}{{\text{2}}^{\text{-}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y13-Y}{{\text{3}}^{\text{-}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y14-Y}{{\text{4}}^{\text{-}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(Y15-Y}{{\text{5}}^{\text{-}}}{{\text{)}}^{\text{2}}}}\]
\[D{{1}^{-}}=\sqrt{{{\text{(2,9440-3,5328)}}^{\text{2}}}\text{+(1,8558-1,9022}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,6309-3,1712}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(2,7408-1,9185}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(0,9567-1,5308}{{\text{)}}^{\text{2}}}}=\text{1,9305}\]
\[D{{2}^{-}}=\sqrt{{{\text{(1,9627-3,5328)}}^{\text{2}}}\text{+(1,3919-1,9022}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,8121-3,1712}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(2,1926-1,9185}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(0,8611-1,5308}{{\text{)}}^{\text{2}}}}=\text{2,2575}\]
\[D{{3}^{-}}=\sqrt{{{\text{(3,5328-3,5328)}}^{\text{2}}}\text{+(1,9022-1,9022}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(3,1712-3,1712}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,9185-1,9185}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{+(1,5308-1,5308}{{\text{)}}^{\text{2}}}}=0\]

7. Menentukan nilai preferensi untuk setiap alternatif
Nilai preferensi untuk setiap alternatif (Vi) diberikan sebagai: \[V1=\frac{D_{1}^{-}}{D_{1}^{-}+D_{2}^{+}}=\frac{1,9305}{1,9305+1,0897}=0,6392\]
\[V2=\frac{D_{2}^{-}}{D_{2}^{-}+D_{2}^{+}}=\frac{2,2575}{2,2575+1,1174}=0,6689\]
\[V3=\frac{D_{3}^{-}}{D_{3}^{-}+D_{3}^{+}}=\frac{0}{0+2,5864}=0\]

Rangking

1. A2 Kalasan 0.6689
2. A1 Ngemplak 0.6392
3. A3 Kota Gede 0

Referensi:
Modul Metode TOPSIS, disusun oleh Andri Syafrianto, M.Cs