 |
| Penyelesaian Metode Simpleks vs. Grafik |
Fungsi tujuan: maksimum Z = 25X1 + 25X2, dan Batasan:
- 3X1 + 2X2 ≤ 6
- 2X1 + 4X2 ≤ 8
- X1, X2 ≥ 0
Penyelesaian Metode Simpleks
1. Mengubah Fungsi Tujuan dan Batasannya
Diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua CjXij digeser ke kiri.
Fungsi Tujuan:
Z = 25X1 + 25X2 menjadi → Z - 25X1 - 25X2 = 0
Fungsi Batasan:
Karena fungsi batasan berupa pertidaksamaan, maka cara merubahnya kebentuk implisit adalah dengan menambahkan Slack Variabel.
3X1 + 2X2 ≤ 6 menjadi → 3X1 + 2X2 + X3 = 6
2X1 + 4X2 ≤ 8 menjadi → 2X1 + 4X2 + X4 = 8
2. Menyusun Persamaan Ke Dalam Tabel
3. Memilih Kolom Kunci
Pada baris Z terdapat dua nilai (-) yang sama besarnya, jadi harus dipilih salah satunya, dan itu bebas. Pada kasus ini saya pilih -25 di kolom X1.
4. Memilih Baris Kunci
Sebelum menentukan baris kunci, terlebih dahulu menghitung index variabel dasarnya, kecuali baris Z. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
5. Mengubah Nilai-nilai Baris Kunci
Didapat nilai kunci = 3.
6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci
Maka diperoleh hasil:
Tabel pertama (putih) nilai lama dan tabel kedua (berwarna) nilai baru,
7. Re-Optimasi
Dikarenakan baris Z pada tabel ke dua (berwarna) masih terdapat nilai negatif (-), maka diperlukan lagi optimasi dengan cara mengulangi langkah 3 s/d. 6.
Tabel optimasi ke 1
7.3. Memilih Kolom Kunci
7.4. Memilih Baris Kunci
7.5. Mengubah Nilai-nilai Baris Kunci
7.6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci
Tabel yang diperoleh dari tabel pertama s/d. perbaikan / perubahan terakhir:
Kesimpulan
Karena pada baris fungsi tujuan (Z) sudah tidak ada yang bernilai negatif (-), maka sudah dianggap optimal dengan nilai X1 = 1, X2 = 3/2 dan Z max = 125/2
2. Menentukan Fungsi Tujuan (Z)
4. Minimalkan Z
Telah didapatkan 2 fungsi batasan, diantaranya;
5. Menggambar Grafik dan Mendeklarasikan Daerah Feasible
6. Mencari Nilai Z Optimal
Studi kasus menanyakan tentang MAKSIMAL fungsi tujuan (Z).
Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:
1. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif
Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, dengan cara subtitusi.
Titik A
Karena titik A adalah perpotongan dari batasan 1 dan 2, maka perlu menggunakan kedua pertidaksamaan / fungsi tersebut,
Eliminasi:
3X1 + 2X2 ≤ 6 | kalikan 2
2X1 + 4X2 ≤ 8 | kalikan 1
------------------------------
6X1 + 4X2 ≤ 12
2X1 + 4X2 ≤ 8
------------------------------ (-)
4X1 + 0 = 4
X1 = 4/4
X1 = 1
Subtitusi ke salah satu pertidaksamaan:
3X1 + 2X2 ≤ 6
3*1 + 2X2 ≤ 6
3 + 2X2 ≤ 6
2X2 ≤ 6 - 3
2X2 ≤ 3
X2 ≤ 3/2
Sehingga diperoleh titik A (1, 3/2). Berikutnya subtitusikan ke fungsi tujuan (Z), maka;
Z = 25X1 + 25X2
Z = 25*1 + 25*3/2
Z = 25 + 75/2
Z = 50/2 + 75/2
Z = 125/2
Z = 125/2 (max)
Panduan:
Diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua CjXij digeser ke kiri.
Fungsi Tujuan:
Z = 25X1 + 25X2 menjadi → Z - 25X1 - 25X2 = 0
Fungsi Batasan:
Karena fungsi batasan berupa pertidaksamaan, maka cara merubahnya kebentuk implisit adalah dengan menambahkan Slack Variabel.
3X1 + 2X2 ≤ 6 menjadi → 3X1 + 2X2 + X3 = 6
2X1 + 4X2 ≤ 8 menjadi → 2X1 + 4X2 + X4 = 8
2. Menyusun Persamaan Ke Dalam Tabel
- Z - 25X1 - 25X2 = 0
- 3X1 + 2X2 + X3 = 6
- 2X1 + 4X2 + X4 = 8
Variabel Dasar | Z | X1 | X2 | X3 | X4 | NK |
Z | 1 | -25 | -25 | 0 | 0 | 0 |
X3 | 0 | 3 | 2 | 1 | 0 | 6 |
X4 | 0 | 2 | 4 | 0 | 1 | 8 |
3. Memilih Kolom Kunci
Pada baris Z terdapat dua nilai (-) yang sama besarnya, jadi harus dipilih salah satunya, dan itu bebas. Pada kasus ini saya pilih -25 di kolom X1.
Sebelum menentukan baris kunci, terlebih dahulu menghitung index variabel dasarnya, kecuali baris Z. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
Didapat nilai kunci = 3.
Maka diperoleh hasil:
Dikarenakan baris Z pada tabel ke dua (berwarna) masih terdapat nilai negatif (-), maka diperlukan lagi optimasi dengan cara mengulangi langkah 3 s/d. 6.
Tabel optimasi ke 1
Variabel Dasar | Z | X1 | X2 | X3 | X4 | NK | Indeks |
Z | 1 | 0 | -25/3 | 25/3 | 0 | 50 | |
X1 | 0 | 1 | 2/3 | 1/3 | 0 | 2 | |
X4 | 0 | 0 | 8/3 | -2/3 | 1 | 4 |
7.3. Memilih Kolom Kunci
Karena pada baris fungsi tujuan (Z) sudah tidak ada yang bernilai negatif (-), maka sudah dianggap optimal dengan nilai X1 = 1, X2 = 3/2 dan Z max = 125/2
Penyelesaian Metode Grafik
1. Menentukan Variabel
- | Variabel |
- | X1 |
- | X2 |
2. Menentukan Fungsi Tujuan (Z)
Z = 25X1 + 25X2 |
3. Menentukan Fungsi Batasan
- 3X1 + 2X2 ≤ 6
- 2X1 + 4X2 ≤ 8
4. Minimalkan Z
Telah didapatkan 2 fungsi batasan, diantaranya;
- 3X1 + 2X2 ≤ 6
- 2X1 + 4X2 ≤ 8
1). 3X1 + 2X2 ≤ 6
Jika, X1 = 0, maka X2 = 6/2 = 3
Jika, X2 = 0, maka X1 = 6/3 = 2
Jadi, (X1, X2) = (2, 3)
2). 2X1 + 4X2 ≤ 8
Jika, X1 = 0, maka X2 = 8/4 = 2
Jika, X2 = 0, maka X1 = 8/2 = 4
Jadi, (X1, X2) = (4, 2)
 |
| Menggambar Grafik dan Mendeklarasikan Daerah Feasible |
Studi kasus menanyakan tentang MAKSIMAL fungsi tujuan (Z).
Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara:
1. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif
Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif, dengan cara subtitusi.
Titik A
Karena titik A adalah perpotongan dari batasan 1 dan 2, maka perlu menggunakan kedua pertidaksamaan / fungsi tersebut,
Eliminasi:
3X1 + 2X2 ≤ 6 | kalikan 2
2X1 + 4X2 ≤ 8 | kalikan 1
------------------------------
6X1 + 4X2 ≤ 12
2X1 + 4X2 ≤ 8
------------------------------ (-)
4X1 + 0 = 4
X1 = 4/4
X1 = 1
Subtitusi ke salah satu pertidaksamaan:
3X1 + 2X2 ≤ 6
3*1 + 2X2 ≤ 6
3 + 2X2 ≤ 6
2X2 ≤ 6 - 3
2X2 ≤ 3
X2 ≤ 3/2
Sehingga diperoleh titik A (1, 3/2). Berikutnya subtitusikan ke fungsi tujuan (Z), maka;
Z = 25X1 + 25X2
Z = 25*1 + 25*3/2
Z = 25 + 75/2
Z = 50/2 + 75/2
Z = 125/2
Z = 125/2 (max)
7. Membuat Kesimpulan
Maka bisa ditarik kesimpulan bahwa, X1 = 1 dan X2 = 3/2 dan Z Max = 125/2.
Panduan: